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    重庆时时彩后二人工计划: 一种三维产品模型的形状优化算法.pdf

    摘要
    申请专利号:

    重庆时时彩单双窍门 www.4mum.com.cn CN201610827180.X

    申请日:

    2016.09.18

    公开号:

    CN106384384A

    公开日:

    2017.02.08

    当前法律状态:

    实审

    有效性:

    审中

    法律详情: 实质审查的生效IPC(主分类):G06T 17/00申请日:20160918|||公开
    IPC分类号: G06T17/00; G06T19/00(2011.01)I 主分类号: G06T17/00
    申请人: 上海理工大学
    发明人: 陈龙; 张高朋
    地址: 200093 上海市杨浦区军工路516号
    优先权:
    专利代理机构: 上海德昭知识产权代理有限公司 31204 代理人: 郁旦蓉
    PDF完整版下载: PDF下载
    法律状态
    申请(专利)号:

    CN201610827180.X

    授权公告号:

    |||

    法律状态公告日:

    2017.03.08|||2017.02.08

    法律状态类型:

    实质审查的生效|||公开

    摘要

    本发明提供了一种三维产品模型的形状优化算法,包括以下步骤:首先利用反求方法或者尺寸测量方法,构建产品模型包含点、线、面特征的特征框架模型,添加特征元素之间的约束,构成参数化的特征框架,通过多种驱动方式且维护特征之间的约束以实现特征框架模型的修改。再针对该特征框架,利用体参数化的理论得到可用于等几何分析的体参数化模型。同时将该特征框架的特征尺寸作为产品尺寸或者形状优化的参数,推导产品物理性能与这些设计参数的敏度矩阵,通过优化这些参数以实现对产品模型的优化设计。

    权利要求书

    1.一种三维产品模型的形状优化算法,用于对三维产品模型的形状进行优化设计,其
    特征在于,包括以下步骤:
    (一)建立特征框架模型
    采用反求方法或者尺寸测量方法,构建包含产品模型点、线、面特征的自由形体特征框
    架模型;选取部分特征参数作为优化设计参数,并根据这些优化设计参数和其他一些已知
    参数,构建出所述自由形体特征框架模型的特征曲线;给所述特征曲线添加约束条件得到
    参数化的特征框架,通过特征框架尺寸驱动产品模型的变形,
    (二)建立分析模型
    采用一定方法获取所述特征框架模型的表面控制点和实体内部控制点,并建立优化设
    计参数和控制点之间的关联,
    (三)建立控制点坐标对优化设计参数的灵敏度矩阵
    给所述特征框架模型施加边界条件或约束条件,利用等几何分析的方法得到每个控制
    点的物性参数;利用所述控制点和优化设计参数的关系,从而构建出优化设计参数和物性
    参数的关系;根据该关系求取物性参数针对于优化设计参数的导数关系,即得到灵敏度矩
    阵;对所述灵敏度矩阵进行求解,确定优化算法,
    (四)利用选用的优化算法,依次对每个优化设计参数和对应的特征框架模型进行更
    新,直到满足给定的迭代终止条件。
    2.根据权利要求1所述三维产品模型的形状优化算法,其特征在于:
    其中,所述一定方法为离散孔斯插值法、调和函数法、凸组合插值法中的任意一种。
    3.根据权利要求1所述三维产品模型的形状优化算法,其特征在于:
    其中,每个控制点的物性参数为所述控制点的位移和受力。
    4.根据权利要求1所述三维产品模型的形状优化算法,其特征在于:
    其中,所述三维产品模型的优化目标为模型的刚度最大,所述特征框架模型施的约束
    条件为模型体积小于特定值,
    所述三维产品模型的结构柔度对优化设计参数的导数为:
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>f</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>K</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    所述三维产品模型的体积或面积对优化设计参数的导数为:
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </munderover> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    式中,f为载荷列阵;u为位移列阵;αi为优化设计参数;K为三维产品模型的整体刚度;S
    为三维产品模型的体积或面积;|J|为雅克比行列式;Ω为分析域。
    5.根据权利要求4所述三维产品模型的形状优化算法,其特征在于:
    其中,所述灵敏度矩阵的求解方法包括:
    (1)整体刚度矩阵K是由单元刚度矩阵Ke组装而来,因此转化为求单元刚度矩阵Ke对优
    化设计参数αi的导数问题:
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <munder> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> </munder> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>D</mi> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> </munder> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>D</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> </munder> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>D</mi> <mi>B</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    (2)首先计算B对αi的导数:
    B=[B1 B2 ... Bi ... Bn] (4)
    <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    定义两个矩阵
    <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&xi;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&xi;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&xi;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&zeta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&zeta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&zeta;</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    根据函数求导链式法则得到:
    <mrow> <mover> <mi>T</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>&xi;</mi> </msub> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    根据形函数公式得到
    <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>&xi;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    Pe是单元控制点坐标矩阵:
    <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    由上面两式求导可得
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>T</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    (3)接着需要计算
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>^</mo> </mover> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>J</mi> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>|</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,tr为矩阵对角线元素之和计算符号,tr(A)代表矩阵A对角线元素之和。
    载荷表达为:
    <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> </munder> <msup> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>f</mi> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中N为形函数矩阵:
    <mrow> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>n</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    则载荷对设计变量导数为:
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <munder> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> </munder> <msup> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>&Omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    在模型所加载荷独立于优化设计参数αi,故
    对平衡方程KU=F两边同时对设计变量求导得
    <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,B为应变矩阵;D为弹性矩阵;Ni为NURBS基函数表示的形函数;Jξ为雅克比矩阵;Pe
    为单元控制点坐标矩阵fe为载荷。
    6.权利要求1~5中任一项所述的三维产品模型的形状优化算法在带脊悬臂梁形状优
    化中的用途。
    7.根据权利要求6所述的带脊悬臂梁的形状优化算法,其特征在于,包括以下步骤:
    步骤1,建立带脊悬臂梁的特征框架模型,该特征框架模型的特征尺寸包括脊的宽度W、
    脊的高度H、整体厚度t、以及脊的长度L,该模型载荷为Z=0端面受到均匀沿y轴负向的拉力
    F,边界条件为末端面完全固定;
    步骤2,根据式(16)~(19)得到悬臂脊参数化控制点坐标矩阵:
    <mrow> <msup> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>W</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    此处,x0为脊顶点x坐标,x1为脊上控制点x坐标,x1′为更新后的x1,W0为顶点脊宽,
    脊上控制点y坐标:
    满足x=x1,(17)
    x∈控制点(x,y),y1∈控制点(x1,y1)
    此处,y1为脊底层y坐标,y为脊上控制点y坐标,y′为更新后的y,
    H0为底层脊高,
    脊外控制点y坐标:
    <mrow> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    此处,y1为脊外控制点y坐标,y′为更新后的y1,
    控制点z坐标:
    <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    此处,z1为脊上控制点初始z坐标,z′为更新后的z1,,L0为L初始尺寸。
    步骤3,根据式(20)得到悬臂脊参数化控制点坐标对特征尺寸的灵敏度矩阵,
    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>W</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>dx</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>dx</mi> <mn>1</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>W</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dy</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dy</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dy</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dz</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dz</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    步骤4,根据式(21)中所示的模型特征尺寸初始值及约束条件对柔度以及上述四个特
    征参数依次进行迭代,直到满足给定的迭代终止条件。
    <mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3.5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0.3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1.2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&le;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>W</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>H</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>L</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&le;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1.2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    8.权利要求1~5中任一项所述的三维产品模型的形状优化算法在疏浚绞刀臂形状优
    化中的用途。
    9.根据权利要求8所述的疏浚绞刀臂的形状优化算法,其特征在于,包括以下步骤:
    步骤1,建立疏浚绞刀臂的特征框架模型,该特征框架模型的特征尺寸包括绞刀臂下底
    面轴向宽度bW和轴向长度bL,上顶面轴向宽度tW和轴向长度tL,绞刀臂高度H,载荷与边界
    条件为:绞刀臂上底面与下底面固定约束,在指定控制点处施加集中力;
    步骤2,根据式(22)得到疏浚绞刀臂参数化控制点坐标矩阵:
    <mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>W</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>H</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>W</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>H</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>W</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>H</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>W</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>H</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    此处,(x0,y0,z0)为空间中任意设定的定点,(x1,y1,z1)为动点,W0,L0,H0为与(x0,y0,z0)
    相对应地沿X轴、Y轴、Z轴方向特征尺寸,W,L,H为与(x1,y1,z1)相对应地沿X轴、Y轴、Z轴方向
    特征尺寸,
    步骤3,根据式(23)得到疏浚绞刀臂参数化控制点坐标对特征尺寸敏度矩阵,
    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>W</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>dy</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>W</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>dx</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>dz</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    步骤4,根据式(24)中所示的模型特征尺寸初始值及约束条件对五个特征参数依次进
    行迭代,直到满足给定的迭代终止条件。
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    一种 三维 产品 模型 形状 优化 算法
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