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    重庆时时彩计划软件APP: 基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法.pdf

    关 键 词:
    基于 分位点法 快速 确定 解析 不确定 问题 随机性 分析 方法
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    摘要
    申请专利号:

    CN201610805287.4

    申请日:

    2016.09.07

    公开号:

    CN106372343A

    公开日:

    2017.02.01

    当前法律状态:

    实审

    有效性:

    审中

    法律详情: 实质审查的生效IPC(主分类):G06F 17/50申请日:20160907|||公开
    IPC分类号: G06F17/50; G06Q50/08(2012.01)I 主分类号: G06F17/50
    申请人: 华侨大学; 福建南方路面机械有限公司
    发明人: 赖雄鸣; 赖琴芳; 黄河; 王成; 张勇; 杨建红; 房怀英; 言兰
    地址: 362000 福建省泉州市丰泽区城东华侨大学
    优先权:
    专利代理机构: 泉州市文华专利代理有限公司 35205 代理人: 张浠娟
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    法律状态
    申请(专利)号:

    CN201610805287.4

    授权公告号:

    |||

    法律状态公告日:

    2017.03.01|||2017.02.01

    法律状态类型:

    实质审查的生效|||公开

    摘要

    本发明公开一种基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,包括:S1.将函数f的模型输出视为正态分布,根据工程问题的可靠性指标βp1,βp2确定正态分布的左尾部分位点p1和右尾部分位点p2,且有p1+p2=1,p1=1?Φ(βp1),p2=1?Φ(βp2),Φ(·)为正态分布函数;S2.采用高效算法计算分位点p1对应的函数响应值fp1;S3.采用高效算法计算分位点p2对应的函数响应值fp2;S4.以p1和p2分别对应的响应值fp1和fp2来评价该函数的概率分布。本发明采用正态分布函数中分位点的概念来评价复杂工程问题的概率分布特性,并通过高效计算方法,通过少量样本即可获得可靠的计算结果。

    权利要求书

    1.基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,其特征在于,包括以
    下步骤:
    S1.将函数f的模型输出视为正态分布,根据工程问题的可靠性指标βp1,βp2确定正态分
    布的左尾部分位点p1和右尾部分位点p2,且有p1+p2=1,p1=1-Φ(βp1),p2=1-Φ(βp2),Φ
    (·)为正态分布函数;
    S2.采用高效算法计算分位点p1对应的函数响应值fp1;
    S3.采用高效算法计算分位点p2对应的函数响应值fp2;
    S4.以p1和p2分别对应的响应值fp1和fp2来评价该函数的概率分布。
    2.如权利要求1所述的基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,
    其特征在于:所述步骤S2具体包括以下步骤:
    S21.高效初始样本集构建
    将原始空间中的随机向量X=[X1,X2,...Xn]转化成标准正态空间中的标准随机向量u
    =[u1,u2,...un],标准随机向量u中每个子分量ui与随机向量X的每个子分量Xi的关系为:
    其中,和分别为随机向量X的第i个分量Xi的均值和标
    准差;
    <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    根据将标准正态空间中的初始样本
    转变成原始空间的随机向量其中μi和σi分别为标准随机向量u的第i
    个子分量ui的均值和标准差,j为1-M;M值为3,5,7或9,Floor()表示括号内的数值圆整到最
    近的正整数;
    根据等式将标准正态空间中的初始样本转变成原始空间
    的随机向量去除该初始样本中的重复样本,剩下的未重复的初始样
    本总数为Num=(M-1)*n+1,假设标准空间内未重复的初始样本为um(m=1~Num),对应的原
    始空间内未重复的初始样本为Xm(m=1~Num),
    计算可以获得每个初始样本Xm(m=1~Num)对应的函数输出Ym(m=1~Num),将标准空
    间内的初始样本um(m=1~Num)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始样本集B0={um,Ym}(m=
    1~Num);
    S22.基于Kriging模型的函数重构
    通过Kriging模型建立标准空间内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数为k
    表示Kriging模型的重构次数,当k=0时,表示该解析函数的Kriging模型是根据初
    始样本集B0构建的;
    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
    根据优化求解式s.t: ||u||=||βp1||=3获得优化解及其对应的函数响应值
    然后将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新
    的样本集Bk,再利用Kriging模型对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函
    数输出Y之间的解析函数
    S23.收敛性判断
    按照式和分别比较优化解和
    的收敛性以及和的收敛性,从而判断计算是否收敛,这里ε=0.05,当满足
    与时,停止计算,得到分位点p1对应的函
    数响应值fp1为否则令k=k+1,重复S22,继续进行函数重构。
    所述步骤S3具体包括以下步骤:
    S31.高效初始样本集构建
    将原始空间中的随机向量X=[X1,X2,...Xn]转化成标准正态空间中的标准随机向量u
    =[u1,u2,...un],标准随机向量u中每个子分量ui与随机向量X的每个子分量Xi的关系为:
    其中,和分别为随机向量X的第i个分量Xi的均值和标
    准差;
    <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    根据选择标准正态空间中的初始样本
    其中μi和σi分别为标准随机向量u的第i个子分量ui的均值和标准差,j为1-M;M值为3,5,7或
    9,Floor()表示括号内的数值圆整到最近的正整数;
    根据等式将标准正态空间的初始样本转
    变成原始空间的随机向量去除该初始样本中的重复样本,剩下的未
    重复的初始样本总数为Num=(M-1)*n+1,假设标准空间内未重复的初始样本为um(m=1~
    Num),对应的原始空间内未重复的初始样本为Xm(m=1~Num),
    计算可以获得每个初始样本Xm(m=1~Num)对应的函数输出Ym(m=1~Num),将标准空
    间内的初始样本um(m=1~Num)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始样本集B0={um,Ym}(m=
    1~Num);
    S32.基于Kriging模型的函数重构
    通过Kriging模型建立标准空间内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数为k
    表示Kriging模型的重构次数,当k=0时,表示该解析函数的Kriging模型是根据初
    始样本集B0构建的;
    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>max</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
    根据优化求解式s.t: ||u||=||βp2||=3获得优化解及其对应的函数响应值
    然后将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新
    的样本集Bk,再利用Kriging模型对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函
    数输出Y之间的解析函数
    S33.收敛性判断
    按照式和分别比较优化解和
    的收敛性以及和的收敛性,从而判断计算是否收敛,这里ε=0.05,当满足
    与时,停止计算,得到分位点p1对应的函
    数响应值fp2为否则令k=k+1,重复S32,继续进行函数重构。
    3.如权利要求1所述的基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,
    其特征在于:所述步骤S4的评价过程具体是:计算fp2-fp1得到函数f落入[fp1,fp2]的概率。

    说明书

    基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法

    技术领域

    本发明涉及复杂工程问题技术领域,特别是一种基于分位点法快速确定不解析不
    确定问题随机性的分析方法。

    背景技术

    对于通常工程问题,其函数模型通常比较复杂,假设其函数为Y=f(X),其中X=
    [X1,X2,...Xn]为随机向量,Y为该复杂工程问题的模型输出。如图1所示,输出参数X不确定
    导致输出函数Y亦不确定,因此,通常复杂工程问题在各个随机影响因素的作用下,其对应
    的函数输出在一定范围内概率分布,而确定其概率分布情况往往通过计算其均值和标准差
    等概率统计信息进行评价。

    函数概率分布的均值和标准差的计算往往采用蒙特卡洛及其改进方法进行求解,
    尽管蒙特卡洛及其改进方法简单,计算可靠,在工程应用广泛采用,总体来讲,需要的样本
    量往往比较多,需要多次计算复杂工程问题的函数输出,因此,传统函数输出概率分布计算
    效率低,计算量大,此外,复杂工程问题往往不解析,比较复杂,需要通过数值求解,而且单
    次求解耗时较长,从而导致采用蒙特卡洛及其改进方法时,通过多次循环反复计算大量样
    本数据对应的复杂工程函数输出耗时更长,计算量更大,从而蒙特卡洛及其改进方法在实
    际工程应用中难以进行。

    图2为输出函数f的概率分布—正态分布函数。图中,p1为左尾部的分位点,p2为右
    边尾部的分位点,并且有p1+p2=1。若令可靠性指标βp1=-3,βp2=3,则p1=1-Φ(βp1)≈
    0.00135,p2=1-Φ(βp2)≈0.99865,这里Φ(·)为正态分布函数,那么图2中阴影部分包含
    的概率为0.9973。因此,只要确定函数f对应p1和p2的函数响应值fp1和fp2,即可知道该函数f
    落入[fp1,fp2]的概率为99.73%,即完成对函数概率分布的评价。

    通过上述分析可知,完成函数概率分布的评价,关键在于求取函数的分位点p1和
    p2的函数响应值fp1和fp2。

    有鉴于此,本发明人提出基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析
    方法。

    发明内容

    本发明为解决上述问题,提供了基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性
    的分析方法,采用正态分布函数中分位点的概念来评价复杂工程问题的概率分布特性,并
    通过高效计算方法,通过少量样本即可获得可靠的计算结果。

    为实现上述目的,本发明采用的技术方案为:

    基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,包括以下步骤:

    S1.将函数f的模型输出视为正态分布,根据工程问题的可靠性指标βp1,βp2确定正
    态分布的左尾部分位点p1和右尾部分位点p2,且有p1+p2=1,p1=1-Φ(βp1),p2=1-Φ(βp2),
    Φ(·)为正态分布函数;

    S2.采用高效算法计算分位点p1对应的函数响应值fp1;

    S3.采用高效算法计算分位点p2对应的函数响应值fp2;

    S4.以p1和p2分别对应的响应值fp1和fp2来评价该函数的概率分布。

    所述步骤S2具体包括以下步骤:

    S21.高效初始样本集构建

    将原始空间中的随机向量X=[X1,X2,...Xn]转化成标准正态空间中的标准随机向
    量u=[u1,u2,...un],标准随机向量u中每个子分量ui与随机向量X的每个子分量Xi的关系
    为:其中,和分别为随机向量X的第i个分量Xi的均值
    和标准差;

    <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    根据将标准正态空间中的初始样本
    转变成原始空间的随机向量其中μi和σi分别为
    标准随机向量u的第i个子分量ui的均值和标准差,j为1-M;M值为3,5,7或9,Floor()表示括
    号内的数值圆整到最近的正整数;

    根据等式ui=(Xi-μXi)/σXi i=1,...,n将初始样本转变成原始空间的随机向量
    去除该初始样本中的重复样本,剩下的未重复的初始样本总数为
    Num=(M-1)*n+1,假设标准空间内未重复的初始样本为um(m=1~Num),对应的原始空间内
    未重复的初始样本为Xm(m=1~Num),

    计算可以获得每个初始样本Xm(m=1~Num)对应的函数输出Ym(m=1~Num),将标
    准空间内的初始样本um(m=1~Num)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始样本集B0={um,Ym}
    (m=1~Num);

    S22.基于Kriging模型的函数重构

    通过Kriging模型建立标准空间内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数为
    k表示Kriging模型的重构次数,当k=0时,表示该解析函数的Kriging模型是
    根据初始样本集B0构建的;

    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    根据优化求解式s.t:||u||=||βp1||=3获得优化解及其对应的函数响应值
    然后将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新
    的样本集Bk,再利用Kriging模型对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函
    数输出Y之间的解析函数

    S23.收敛性判断

    按照式和分别比较优化解和
    的收敛性以及和的收敛性,从而判断计算是否收敛,这里ε=0.05,当满足
    与时,停止计算,得到分位点p1对应的函
    数响应值fp1为否则令k=k+1,重复S22,继续进行函数重构。

    所述步骤S3具体包括以下步骤:

    S31.高效初始样本集构建

    将原始空间中的随机向量X=[X1,X2,...Xn]转化成标准正态空间中的标准随机向
    量u=[u1,u2,...un],标准随机向量u中每个子分量ui与随机向量X的每个子分量Xi的关系
    为:其中,和分别为随机向量X的第i个分量Xi的均值
    和标准差;

    <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    根据选择标准正态空间中的初始样本
    其中μi和σi分别为标准随机向量u的第i个子分量ui的均值和标准差,
    j为1-M;M值为3,5,7或9,Floor()表示括号内的数值圆整到最近的正整数;

    根据等式将标准正态空间的初始样本
    转变成原始空间的随机向量去除该初始样本中的重复样本,剩下的
    未重复的初始样本总数为Num=(M-1)*n+1,假设标准空间内未重复的初始样本为um(m=1
    ~Num),对应的原始空间内未重复的初始样本为Xm(m=1~Num),

    计算可以获得每个初始样本Xm(m=1~Num)对应的函数输出Ym(m=1~Num),将标
    准空间内的初始样本um(m=1~Num)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始样本集B0={um,Ym}
    (m=1~Num);

    S32.基于Kriging模型的函数重构

    通过Kriging模型建立标准空间内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数为
    k表示Kriging模型的重构次数,当k=0时,表示该解析函数的Kriging模型
    是根据初始样本集B0构建的;

    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>max</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    根据优化求解式s.t:||u||=||βp2||=3获得优化解及其对应的函数响应值
    然后将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新
    的样本集Bk,再利用Kriging模型对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函
    数输出Y之间的解析函数

    S33.收敛性判断

    按照式和分别比较优化解
    和的收敛性以及和的收敛性,从而判断计算是否收敛,这里ε=0.05,当满足
    与时,停止计算,得到分位点p1对应的函
    数响应值fp2为否则令k=k+1,重复S32,继续进行函数重构。

    所述步骤S4的评价过程具体是:计算fp2-fp1得到函数f落入[fp1,fp2]的概率。

    采用上述方案后,本发明的有益效果是:采用正态分布函数中分位点的概念来评
    价复杂工程问题的概率分布特性,并通过高效计算方法,通过少量样本即可获得可靠的计
    算结果。

    附图说明

    此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解,构成本发明的一部分,本发
    明的示意性实施例及其说明用于解释本发明,并不构成对本发明的不当限定。附图中:

    图1输入参数不确定导致模型输出亦不确定的示意图;

    图2是函数f的正态分布图;

    图3和4是载荷作用在屋架结构的示意图;

    图5是左分位点p1对应的函数响应值fp1迭代计算结果图;

    图6是右分位点p2对应的函数响应值fp2迭代计算结果图。

    具体实施方式

    为了使本发明所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚、明白,以下结
    合附图及实施例对本发明进行进一步详细说明。应当理解,此处所描述的具体实施例仅用
    以解释本发明,并不用于限定本发明。

    本发明的基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法,包括以下
    步骤:

    S1.将函数f的模型输出视为正态分布,根据工程问题的可靠性指标βp1,βp2确定正
    态分布的左尾部分位点p1和右尾部分位点p2,且有p1+p2=1,p1=1-Φ(βp1),p2=1-Φ(βp2),
    Φ(·)为正态分布函数;

    S2.采用高效算法计算分位点p1对应的函数响应值fp1;其具体包括以下步骤:

    S21.高效初始样本集构建

    首先,将原始空间中的随机向量X=[X1,X2,...Xn]转化成标准正态空间中的标准
    随机向量u=[u1,u2,...un],标准随机向量u中每个子分量ui与随机向量X的每个子分量Xi的
    关系如下:

    <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,和分别为随机向量X的第i个分量Xi的均值和标准差。

    在标准正态空间中的初始样本选择如下:

    <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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    其中μi和σi分别为标准随机向量u的第i个子分量ui的均值(为0)和标准差(为1)。j
    为1~M;M值通常指定为3,5,7或9,Floor()表示括号内的数值圆整到最近的正整数;

    接着,对于标准空间中的每个初始样本可以通过式(1)转变
    成原始空间的随机向量去除该该初始样本中重复的样本,剩下的未
    重复的初始样本总数为Num=(M-1)*n+1;

    这里假设标准空间内未重复的初始样本为um(m=1~Num),对应的原始空间内未
    重复的初始样本为Xm(m=1~Num);

    然后,通过数值计算可以获得每个初始样本Xm(m=1~Num)对应的函数输出Ym(m=
    1~Num)。

    接着将标准空间内的初始样本um(m=1~Num)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始
    样本集B0={um,Ym}(m=1~Num)。

    S22.基于Kriging模型的函数重构

    Kriging模型已经是成熟,这里不熬述,首先,利用该模型可以建立标准空间内随
    机向量u与函数输出Y之间的解析函数,假设为这里k表示Kriging模型的重构次数,
    令k=0,此时表示该解析函数的Kriging模型是根据初始样本集B0构建的;

    通过优化求解式(3)可获得优化解及其对应的函数响应值

    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    s.t:||u||=||βp1||=3 (3)

    将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新的样本
    集Bk,再利用Kriging方法对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函数输出Y
    之间的解析函数

    S23.收敛性判断

    按照式(4)和(5)分别比较优化解和的收敛性以及和的收敛性,从
    而判断计算是否收敛,这里ε为较小的值。在本专利后面实例中取ε为0.05。

    <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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    当满足式(4)或者(5)时,停止计算,分位点p1对应的函数响应值fp1为否
    则令k=k+1,重复1.2的过程,继续进行函数重构。

    S3.采用高效算法计算分位点p2对应的函数响应值fp2,其具体包括以下步骤:

    S31.高效初始样本集构建

    这里直接采用与S21相同的方法来计算的始样本集B0={um,Ym}(m=1~Num);

    S32.基于Kriging模型的函数重构

    首先,利用该模型可以建立标准空间内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数,
    假设为这里k表示Kriging模型的重构次数。令k=0,此时表示该解析函数的
    Kriging模型是根据初始样本集B0构建的;

    通过优化求解式(6)可获得优化解及其对应的函数响应值

    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>max</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    s.t:||u||=||βp2||=3 (6)

    将优化解及其对应的函数响应值加入到样本集Bk-1中,得到新的样
    本集Bk,再利用Kriging方法对新的样本集进行建模,得到标准空间内随机向量u与函数输
    出Y之间的解析函数

    S33.收敛性判断

    按照式(7)和(8)分别比较优化解和的收敛性以及和的收敛性,从
    而判断计算是否收敛。这里ε为较小的值。在本专利后面实例中取ε为0.05。

    <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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    当满足式(7)或者(8)时,停止计算,分位点p2对应的函数响应值fp2为否
    则令k=k+1,重复2.2的过程,继续进行函数重构。

    S4.以p1和p2分别对应的响应值fp1和fp2来评价该函数的概率分布,具体是计算fp2-
    fp1得到函数f落入[fp1,fp2]的概率。

    下面以屋架结构要求在载荷作用下的C的扰度变形大小的随机概率分布情况的分
    析为例。

    如图3和图4所示,在屋架结构,该C点的扰度变形ΔC(q,Ac,Ec,As,Es,l)是载荷q、
    混凝土横截面积AC、钢杆横截面积AS、混凝土弹性模量EC、钢杆弹性模量ES和长度的l函数,
    需要通过有限元数值计算进行求解,上述各个影响因素的概率分布信息见下表1:


    为确定复杂工程问题函数的分布范围,主要按照下述三个步骤进行:

    步骤1、计算分位点p1对应的函数响应值fp1;

    1.1、高效初始样本集构建

    这里取M=3,按照式(2)选择标准空间内的初始样本,并去掉重复的样本,见表2。

    表2标准空间内的初始样本um



    通过式(1)可以获得标准空间内的初始样本um对应的原始空间内的初始样本Xm,并
    通过数值计算计算初始样本Xm对应的函数响应值Ym。

    将标准空间内的初始样本um(m=1~13)和函数输出Ym(m=1~Num)组成初始样本
    集B0={um,Ym}(m=1~13)。

    这里初始样本集B0中的每个样本见表3。

    表3初始样本集B0



    1.2、基于Kriging模型的函数重构

    令k=0,此时利用Kriging模型建立初始样本集B0对应的近似解析函数
    并优化求解式(3)得到优化解优化解及其对应的函数响应值

    令k=k+1,此时,k为1,将优化解及其对应的函数响应值加入到样本
    集B0中,得到新的样本集Bk=B1;再利用Kriging方法对新的样本集进行建模,得到标准空间
    内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数

    优化求解式(3)得到优化解优化解及其对应的函数响应值

    1.3、收敛性判断

    按照式(4)和(5)分别比较优化解和的收敛性以及和的收敛性,从
    而判断计算是否收敛。这里ε为较小的值。在该实例中取ε为0.05。

    <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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    当满足式(4)或者(5)时,停止计算,分位点p1对应的函数响应值fp1为否
    则重复1.2的过程,继续进行函数重构。

    上述计算过结果,见图5,可见通过k从0迭代到2时,共经过3次迭代满足要求,点
    对应的实现收敛。

    步骤2、计算分位点p2对应的函数响应值fp2

    2.1、高效初始样本集构建

    这里的初始样本与前面的初始样本集B0相同,见表3。

    2.2、基于Kriging模型的函数重构

    令k=0,此时利用Kriging模型建立初始样本集B0对应的近似解析函数
    并优化求解式(6)得到优化解优化解及其对应的函数响应值

    令k=k+1,此时,k为1。将优化解及其对应的函数响应值加入到样本
    集B0中,得到新的样本集Bk=B1。再利用Kriging方法对新的样本集进行建模,得到标准空间
    内随机向量u与函数输出Y之间的解析函数

    优化求解式(6)得到优化解优化解及其对应的函数响应值

    2.3、收敛性判断

    按照式(7)和(8)分别比较优化解和的收敛性以及和的收敛性,从
    而判断计算是否收敛。这里ε为较小的值。在该实例中取ε为0.05。

    <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>/</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&le;</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    当满足式(4)或者(5)时,停止计算,分位点p2对应的函数响应值fp2为否
    则重复2.2的过程,继续进行函数重构。

    上述计算结果,见图5,可见通过k从0迭代到2时,共经过3次迭代满足要求,点
    对应的实现收敛。

    步骤三、以p1和p2的对应的函数响应值fp1和fp2,评价该函数的概率分布

    步骤一和步骤二中p1和p2的对应的函数响应值fp1和fp2见表4,表4中函数真实值
    是,通过和计算获得的,而收敛值和与分别与计算的真实值相同,
    说明本专利的计算结果是可靠的,因此,函数数f落入[0.0172,0.0318]的概率为99.73%。

    总体而言,本实施例中初始样本共13个,故需要13次数值计算,而计算p1和p2的对
    应的函数响应值fp1和fp2函数时,Kriging模型各重构3次,故进行6次数值计算,因此,该实
    例共进行19(13+6)次数值计算,而从表5可见,当样本量为100时,采用蒙特卡洛法计算均值
    和标准差误差较大,需要较大的样本,当样本量1000时才能获得与样本量10000的近似结
    果。通过对比,可见采用本发明的方法绕开求解均值和标准差评价函数的概率分布,转而采
    用分位点评价函数概率分布,并提出了相应的方法进行求解,而该求解方法非常高效。

    表4p1和p2的对应的函数响应值fp1和fp2


    表5计算效率对比


    上述说明示出并描述了本发明的优选实施例,应当理解本发明并非局限于本文所
    披露的形式,不应看作是对其他实施例的排除,而可用于各种其他组合、修改和环境,并能
    够在本文发明构想范围内,通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人
    员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围,则都应在本发明所附权利要求的?;?br />范围内。

    关于本文
    本文标题:基于分位点法快速确定不解析不确定问题随机性的分析方法.pdf
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