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    重庆时时彩个位公式: 一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法.pdf

    关 键 词:
    一种 轮式 移动 机器人 轨迹 跟踪 控制 方法
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    摘要
    申请专利号:

    CN201610522244.5

    申请日:

    2016.07.05

    公开号:

    CN106125728A

    公开日:

    2016.11.16

    当前法律状态:

    授权

    有效性:

    有权

    法律详情: 授权|||实质审查的生效IPC(主分类):G05D 1/02申请日:20160705|||公开
    IPC分类号: G05D1/02; G05B13/04 主分类号: G05D1/02
    申请人: 上海电机学院
    发明人: 王雪松; 孙强; 韩林; 鲍祚睿; 陈年生; 范光宇
    地址: 201100 上海市闵行区江川路690号
    优先权:
    专利代理机构: 上海申汇专利代理有限公司 31001 代理人: 翁若莹;吴小丽
    PDF完整版下载: PDF下载
    法律状态
    申请(专利)号:

    CN201610522244.5

    授权公告号:

    ||||||

    法律状态公告日:

    2019.01.25|||2016.12.14|||2016.11.16

    法律状态类型:

    授权|||实质审查的生效|||公开

    摘要

    本发明提供了一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,首先建立系统的运动学模型、动力学模型、驱动电机模型;然后设计运动学控制器,用于在运动学模型的基础上,根据给定的参考轨迹的状态调整系统的速度;动力学控制器,用于在动力学模型的基础上,根据所需调整系统的速度得出电机的期望力矩;驱动电机控制器,用于在驱动电机模型的基础上,为满足电机的期望力矩,设计出系统合适的驱动电压;最后采用反步法的鲁棒轨迹跟踪控制方法对四驱轮式移动机器人进行轨迹跟踪控制。本发明提供的方法实现了在复杂不确定环境下提高四驱轮式移动机器人控制系统的稳定性的目的,改善了含有不确定性因素条件下系统控制的有效性。

    权利要求书

    1.一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:该方法由以下3个步骤组
    成:
    步骤1:建立系统的运动学模型、动力学模型、驱动电机模型;
    步骤2:设计
    运动学控制器,用于在运动学模型的基础上,根据给定的参考轨迹的状态调整系统的
    速度;
    动力学控制器,用于在动力学模型的基础上,根据所需调整系统的速度得出电机的期
    望力矩;
    驱动电机控制器,用于在驱动电机模型的基础上,为满足电机的期望力矩,设计出系统
    合适的驱动电压;
    步骤3:采用反步法的鲁棒轨迹跟踪控制方法对四驱轮式移动机器人进行轨迹跟踪控
    制,具体过程如下:
    步骤3.1:根据给定的参考轨迹,通过对系统模型的建立获取在相应坐标系下机器人位
    姿误差;
    步骤3.2:判定该位姿误差是否为零,若为零,则完成了相应的轨迹跟踪;反之,调整运
    动学模型输入的期望速度;
    步骤3.3:在满足运动学模型的期望速度的条件下,设置合适的力矩控制律;
    步骤3.4:对驱动电机的电压进行设定,获取适当的电压控制律,使系统获取的期望速
    度及力矩条件同时满足。
    步骤3.5:按照反步法的设计思想,形成一个反馈系统,使得在t→∞时,t表示时间,位
    姿误差为0,以实现实际的移动机器人对参考轨迹的跟踪。
    2.如权利要求1所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    反馈系统结构为:运动学控制器、动力学控制器、驱动电机控制器、驱动电机模型、动力学模
    型、运动学模型依次连接,驱动电机模型输出结果反馈给驱动电机控制器,动力学模型输出
    结果反馈给动力学控制器和驱动电机控制器,运动学模型输出结果反馈给动力学控制器,
    运动学模型输出结果通过积分环节后形成实际轨迹反馈给动力学控制器,实际轨迹与参考
    轨迹的位姿误差输入运动学控制器,参考轨迹同时作为前馈信号输入运动学控制器。
    3.如权利要求1所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    运动学模型的建立方法如下:
    运动学模型为了描述系统速度与其位姿之间的关系:
    Pfaffian形式的非完整约束,如公式(1):
    <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&rsqb;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,θ是小车横轴与惯性坐标系的X轴之间的夹角,它可以表示机器人的位姿角,A(q)
    =[sinθ -cosθ 0],是系统的位姿;
    则系统位姿在局部坐标系xoy和惯性坐标系XoY之间的相互转换如公式(2):
    <mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&omega;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,为机器人在局部坐标系下的位姿,vx为机器人速度在x轴上的分量,vy为机
    器人速度在y轴上的分量,ω为机器人的角速度;
    在Pfaffian形式的非完整约束以及系统模型的基础上便可以推出系统的运动学模型,
    如公式(3):
    <mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&omega;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
    其中,v是机器人车轮的线速度,ω为机器人的角速度。
    4.如权利要求2所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    动力学模型的建立方法如下:
    一般轮式移动机器人的动力学模型,如公式(4):
    <mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&lambda;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,M(q)为正定对称的惯性矩阵;为相关与速度和位置的哥氏力矩阵与向心
    力;为摩擦力;G(q)为重力项;τd为包括非结构化未建模动态有界未知扰动向量;B(q)
    为输入变换矩阵;τ=[τL τR]T为转矩输入矢量,在某些情况下,与驱动电机的转矩相等;λ为
    约束力向量,是特殊的内部变量;
    通过对公式(3)求导,可得公式(5)如下:
    <mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&eta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    假设系统动力学模型的不确定性是有界的,且满足
    |τvd|≤ρv(τ)
    |τωd|≤ρω(τ)
    τvd为线速度的不确定参数,τωd为角速度的不确定参数,ρv(τ)、ρω(τ)均为有界常数值;
    在忽略重力与其他因素干扰的情况下,利用公式(4)与(5)可以得出轮式移动机器人的
    动力学模型公式(6)如下:
    <mrow> <mover> <mi>&eta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,
    <mrow> <mover> <mi>M</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>
    <mrow> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>
    <mrow> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    进而可以得出:
    <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>M</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
    其中,
    <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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    b为左右轮间距的一半,r为车轮半径,m为车体的质量,g为重力常数。
    5.如权利要求3所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    驱动电机模型的建立方法如下:
    驱动电机的输出转矩τ与电流的关系如公式(7):
    τ=[τL τR]T=[2kniL 2kniR]T (7)
    其中,k为常系数,n为电机的减速比,iL,iR分别为左右侧电机的电流;
    考虑系统参数不确定性及干扰情况下直流电机的电压平衡方程如公式(8)所示:
    <mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&Delta;k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,U为电枢电压,L为电枢电感,R为电枢电阻,ke为电机转矩常数,Δ表示参数的不确
    定性,d(t)表示不确定的干扰;
    利用公式(7)和(8),便可得出驱动电机的数学模型公式(9)如下:
    <mrow> <mover> <mi>&tau;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>L</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>K</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&eta;</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,U=[UL UR]T
    D=[DL DR]T=ΔLU-ΔRτ-ΔKη+d(t)为系统总的不确定性。
    6.如权利要求4所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:轨迹
    跟踪控制的具体步骤如下:
    步骤A,首先设定系统的参考轨迹
    其中,qr=[xr yr θr]T为参考轨迹,ηr=[vr ωr]T,vr为参考线速度,ωr为参考角速度;
    利用公式(2)得出局部坐标下位姿的误差eq,如公式(10):
    <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&theta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&theta;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    综合考虑该四驱轮式移动机器人的系统参数,对位姿误差进行数据处理;借助反步法
    的设计思想,为该运动学模型子系统设计Lyapunov函数,假定运动学控制律的李雅普诺夫
    函数为
    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    通过对公式(11)的数据处理,可以得出使得在t→∞(t为时间)的情况下,eq=0时设计
    的速度控制律为
    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>cose</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>=</mo> <mover> <msub> <mi>&theta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,k1,k2为常系数,k1>0,k2>0;
    利用Lyapunov函数的稳定性判定条件,有
    步骤B,将运动控制模型中的公式(12)输出作为期望速度,记作为[vr ωr]T,则动力学
    跟踪误差为eη=[ev ew]T=[vr-v wr-w]T,假定定义动力学控制器的李雅普诺夫函数为
    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    通过对公式(12)的数据处理,设定力矩控制律为
    <mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>I</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>I</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,k3,k4为常系数,k3>0,k4>0;
    利用Lyapunov函数的稳定性判定条件,有
    步骤C,首先假设驱动电机的不确定是有界的,并且做缓慢变化,即
    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    ρD(t)为有界常数值;
    将动力学控制器的输出公式(14)作为系统的期望力矩,记作[πLr τRr]T,驱动转矩误差

    eτ=[eτL eτR]T
    =[τLr-τL τRr-τR]T (16)
    定义电机控制器的李雅普诺夫函数为
    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    通过对公式(17)的数据处理,设定控制律为
    <mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R&tau;</mi> <mi>L</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mi>b</mi> <mi>&omega;</mi> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>L&rho;</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>R</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R&tau;</mi> <mi>R</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mi>b</mi> <mi>&omega;</mi> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>L&rho;</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mi>sgn</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
    其中,k5,k6为常系数,k5>0,k6>0;
    利用Lyapunov函数的稳定性判定条件,有
    进一步地,当且仅当ep=eη=eτ=0时,由Lyapunov定理可知公式(18)可以使系统
    逐步稳定。
    7.如权利要求2所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    运动学模型建立时,需要作如下假设:
    1)四个驱动轮对称的分布在同一平面;
    2)驱动轮与地面之间是点接触的,忽略去厚度;
    3)车体转向时的半径大于轮子半径;
    4)四个驱动轮与地面在相对运动时不会产生纵向的滑动;
    5)机器人本体看成轮子上运动的刚体,而且只在平面上运动。
    8.如权利要求3所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    动力学模型建立时,忽略了重力与外界因素的干扰。
    9.如权利要求4所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:所述
    驱动电机模型建立时,为了简化理论分析,假设四轮的驱动电机均采用相同参数的直流电
    机和电机驱动器,并且具有相同的减速比。
    10.如权利要求9所述的一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法,其特征在于:在
    设计控制律之前,需要假定系统的不确定扰动未知动态过程的增益是有界的,然后将假定
    的界函数与被控对象的数学模型相结合构造一个李雅普诺夫函数,该函数可以使系统对于
    不确定扰动集合中的任一元素都具有鲁棒性。

    说明书

    一种四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法

    技术领域

    本发明涉及机器人轨迹跟踪控制方法,特别是涉及一种四驱轮式移动机器人轨迹
    跟踪控制方法。

    背景技术

    轮式移动机器人(Wheeled Mobile Robot,WMR)作为移动机器人学的一个重要分
    支,相比于传统的工业机器人,具有工作效率高、驱动和控制简单、载重大、运行灵活方便等
    优点,因此在各领域中具有广泛的应用。随着轮式移动机器人运行能力、对不同环境的适应
    能力等大幅度的提高,轮式移动机器人已经成为人类生产生活中必不可少的帮手。其中在
    民用领域,轮式移动机器人可以代替人类工作者从事各种繁重的任务,例如变电站设备的
    巡检、商场安保人员的巡视、抗震救灾等场合。在军事领域中,各种无人作战机、拆弹防爆机
    器人等的应用也日益广泛。此外,随着智能化技术的日益成熟,服务机器人、各类巡检机器
    人等将会有更加广泛的应用。

    将各种传感器应用到轮式移动机器人平台上,便可以使得轮式移动机器人完成对
    不确定的复杂环境的巡视、学习以及决策等,这样轮式移动机器人就可以完成各种高危任
    务,如高压变电站的巡检、核电站的检测等。此外,轮式移动机器人的广泛使用也使得人类
    的生活更加便利,如在大型货物的搬运、家政服务等场合轮式移动机器人发挥着不可忽视
    的作用。轮式移动机器人一般都工作在未知的复杂环境中,这将给机器人系统带来更多的
    不确定性与复杂性,其运动控制系统要有更强的抗干扰能力,因此研究复杂的未知环境下
    轮式移动机器人的运动控制具有较高的理论与实践意义。

    目前,对轮式移动机器人运动控制的研究大都是在外界环境不变的条件下进行
    的,但是当机器人在各种复杂的环境中运行时,轮式移动机器人系统的参数将会发生变化,
    这就将会影响运动控制系统的稳定性。

    发明内容

    本发明要解决的技术问题是如何在复杂不确定环境下提高四驱轮式移动机器人
    控制系统的稳定性。

    为了解决上述技术问题,本发明的技术方案是提供一种四驱轮式移动机器人轨迹
    跟踪控制方法,其特征在于:该方法由以下3个步骤组成:

    步骤1:建立系统的运动学模型、动力学模型、驱动电机模型;

    步骤2:设计

    运动学控制器,用于在运动学模型的基础上,根据给定的参考轨迹的状态调整系
    统的速度;

    动力学控制器,用于在动力学模型的基础上,根据所需调整系统的速度得出电机
    的期望力矩;

    驱动电机控制器,用于在驱动电机模型的基础上,为满足电机的期望力矩,设计出
    系统合适的驱动电压;

    步骤3:采用反步法的鲁棒轨迹跟踪控制方法对四驱轮式移动机器人进行轨迹跟
    踪控制,具体过程如下:

    步骤3.1:根据给定的参考轨迹,通过对系统模型的建立获取在相应坐标系下机器
    人位姿误差;

    步骤3.2:判定该位姿误差是否为零,若为零,则完成了相应的轨迹跟踪;反之,调
    整运动学模型输入的期望速度;

    步骤3.3:在满足运动学模型的期望速度的条件下,设置合适的力矩控制律;

    步骤3.4:对驱动电机的电压进行设定,获取适当的电压控制律,使系统获取的期
    望速度及力矩条件同时满足。

    步骤3.5:按照反步法的设计思想,形成一个反馈系统,使得在t→∞时,t表示时
    间,位姿误差为0,以实现实际的移动机器人对参考轨迹的跟踪。

    优选地,所述反馈系统结构为:运动学控制器、动力学控制器、驱动电机控制器、驱
    动电机模型、动力学模型、运动学模型依次连接,驱动电机模型输出结果反馈给驱动电机控
    制器,动力学模型输出结果反馈给动力学控制器和驱动电机控制器,运动学模型输出结果
    反馈给动力学控制器,运动学模型输出结果通过积分环节后形成实际轨迹反馈给动力学控
    制器,实际轨迹与参考轨迹的位姿误差输入运动学控制器,参考轨迹同时作为前馈信号输
    入运动学控制器。

    优选地,所述运动学模型的建立方法如下:

    运动学模型为了描述系统速度与其位姿之间的关系;

    Pfaffian形式的非完整约束,如公式(1):

    <mrow> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,θ是小车横轴与惯性坐标系的X轴之间的夹角,它可以表示机器人的位姿角,
    A(q)=[sinθ -cosθ 0],是系统的位姿;

    则系统位姿在局部坐标系xoy和惯性坐标系XoY之间的相互转换如公式(2):

    <mrow> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&omega;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,为机器人在局部坐标系下的位姿,vx为机器人速度在x轴上的分量,
    vy为机器人速度在y轴上的分量,ω为机器人的角速度;

    在Pfaffian形式的非完整约束以及系统模型的基础上便可以推出系统的运动学
    模型,如公式(3):

    <mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    <mfenced open = '' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&omega;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    其中,v是机器人车轮的线速度,ω为机器人的角速度。

    优选地,所述动力学模型的建立方法如下:

    一般轮式移动机器人的动力学模型,如公式(4):

    <mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&lambda;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,M(q)为正定对称的惯性矩阵;为相关与速度和位置的哥氏力矩阵与
    向心力;为摩擦力;G(q)为重力项;τd为包括非结构化未建模动态有界未知扰动向量;B
    (q)为输入变换矩阵;τ=[τL τR]T为转矩输入矢量,在某些情况下,与驱动电机的转矩相等;
    λ为约束力向量,是特殊的内部变量;

    通过对公式(3)求导,可得公式(5)如下:

    <mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&eta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    假设系统动力学模型的不确定性是有界的,且满足

    |τvd|≤ρv(τ)

    |τωd|≤ρω(τ)

    τvd为线速度的不确定参数,τωd为角速度的不确定参数,ρv(τ)、ρω(τ)均为有界常
    数值;

    在忽略重力与其他因素干扰的情况下,利用公式(4)与(5)可以得出轮式移动机器
    人的动力学模型公式(6)如下:

    <mrow> <mover> <mi>&eta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,

    <mrow> <mover> <mi>M</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

    <mrow> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

    <mrow> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    进而可以得出:

    <mfenced open = '' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>M</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    其中,

    <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    <mfenced open = '' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&mu;</mi> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    b为左右轮间距的一半,r为车轮半径,m为车体的质量,g为重力常数。

    优选地,所述驱动电机模型的建立方法如下:

    驱动电机的输出转矩τ与电流的关系如公式(7):

    τ=[τL τR]T=[2kniL 2kniR]T (7)

    其中,k为常系数,n为电机的减速比,iL,iR分别为左右侧电机的电流;

    考虑系统参数不确定性及干扰情况下直流电机的电压平衡方程如公式(8)所示:

    <mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&Delta;k</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,U为电枢电压,L为电枢电感,R为电枢电阻,ke为电机转矩常数,Δ表示参数
    的不确定性,d(t)表示不确定的干扰;

    利用公式(7)和(8),便可得出驱动电机的数学模型公式(9)如下:

    <mrow> <mover> <mi>&tau;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>L</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>K</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&eta;</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,U=[UL UR]T

    D=[DL DR]T=ΔLU-ΔRτ-ΔKη+d(t)为系统总的不确定性。

    优选地,轨迹跟踪控制的具体步骤如下:

    步骤A,首先设定系统的参考轨迹

    其中,qr=[xr yr θr]T为参考轨迹,ηr=[vr ωr]T,vr为参考线速度,ωr为参考角速
    度;

    利用公式(2)得出局部坐标下位姿的误差eq,如公式(10):

    <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&theta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&theta;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    综合考虑该四驱轮式移动机器人的系统参数,对位姿误差进行数据处理;借助反
    步法的设计思想,为该运动学模型子系统设计Lyapunov函数,假定运动学控制律的李雅普
    诺夫函数为

    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>cose</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    通过对公式(11)的数据处理,可以得出使得在t→∞(t为时间)的情况下,eq=0时
    设计的速度控制律为

    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>cose</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>sine</mi> <mi>&theta;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,k1,k2为常系数,k1>0,k2>0;

    利用Lyqpunov函数的稳定性判定条件,有

    步骤B,将运动控制模型中的公式(12)输出作为期望速度,记作为[vr ωr]T,则动
    力学跟踪误差为en=[ev ew]T=[vr-v wr-w]T,假定定义动力学控制器的李雅普诺夫函数为

    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    通过对公式(12)的数据处理,设定力矩控制律为

    <mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>sgne</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>I</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>sgne</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>sgne</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>I</mi> </mfrac> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>sgne</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    其中,k3,k4为常系数,k3>0,k4>0;

    利用Lyqpunov函数的稳定性判定条件,有

    步骤C,首先假设驱动电机的不确定是有界的,并且做缓慢变化,即

    <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    pD(t)为有界常数值;

    将动力学控制器的输出公式(14)作为系统的期望力矩,记作[τLr τRr]T,驱动转矩
    误差为

    eτ=[eτL eτR]T

    =[τLr-τL τRr-τR]T (16)

    定义电机控制器的李雅普诺夫函数为

    <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>R</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

    通过对公式(17)的数据处理,设定控制律为

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    其中,k5,k6为常系数,k5>0,k6>0;

    利用Lyapunov函数的稳定性判定条件,有

    进一步地,当且仅当ep=eη=eτ=0时,由Lyqpunov定理可知公式(18)可以
    使系统逐步稳定。

    优选地,所述运动学模型建立时需要作如下假设:

    1)四个驱动轮对称的分布在同一平面;

    2)驱动轮与地面之间是点接触的,忽略去厚度;

    3)车体转向时的半径大于轮子半径;

    4)四个驱动轮与地面在相对运动时不会产生纵向的滑动;

    5)机器人本体看成轮子上运动的刚体,而且只在平面上运动。

    优选地,所述运动学模型时,需要给出系统模型在局部坐标系与整体坐标系之间
    的相互转化关系。

    优选地,所述运动学模型时,由于该轮式移动机器人四个轮子的横向速度通常是
    零,当机器人转向时,其机械结构决定它的外侧滑移是必须的。因此为了完成该设计的运动
    学模型,引入了Pfaffian形式的非完整约束。

    优选地,所述动力学模型建立时,忽略了重力与外界因素的干扰。

    优选地,所述驱动电机模型建立时,为了简化理论分析,假设四轮的驱动电机均采
    用相同参数的直流电机和电机驱动器,并且具有相同的减速比。

    优选地,采用反步法的鲁棒轨迹跟踪控制方法对四驱轮式移动机器人进行轨迹跟
    踪控制。

    优选地,在利用反步法的鲁棒轨迹跟踪控制策略设计控制律之前,需要假定系统
    的不确定扰动未知动态过程的增益是有界的,然后将假定的界函数与被控对象的数学模型
    相结合构造一个李雅普诺夫函数,该函数可以使系统对于不确定扰动集合中的任一元素都
    具有鲁棒性。

    本发明通过对主控制器中反步法的鲁棒轨迹跟踪控制方法的设计,实现了在复杂
    不确定环境下提高四驱轮式移动机器人控制系统的稳定性的目的,改善了含有不确定性因
    素条件下系统控制的有效性。

    附图说明

    图1为本实施例提供的四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制系统结构框图;

    图2为本实施例提供的四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制方法流程图;

    图3为PID控制轨迹跟踪结果图;

    图4为本发明轨迹跟踪控制方法的轨迹跟踪结果图;

    图5为PID控制位姿角跟踪误差图;

    图6为本发明轨迹跟踪控制方法的位姿角跟踪误差图;

    图7为PID控制线速度跟踪误差图;

    图8为本发明轨迹跟踪控制方法的线速度跟踪误差图。

    具体实施方式

    下面结合具体实施例,进一步阐述本发明。应理解,这些实施例仅用于说明本发明
    而不用于限制本发明的范围。此外应理解,在阅读了本发明讲授的内容之后,本领域技术人
    员可以对本发明作各种改动或修改,这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定
    的范围。

    图1为本实施例提供的四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制系统结构框图,所述的
    四驱轮式移动机器人轨迹跟踪控制系统包括:

    运动学控制器103,在系统运动学模型108的基础上,根据给定的参考轨迹101的状
    态调整系统的速度;

    动力学控制器104,在系统动力学模型107的基础上,根据所需调整系统的速度得
    出电机的期望力矩;

    驱动电机控制器105,在系统驱动电机模型106的基础上,为满足电机的期望力矩,
    设计出系统合适的驱动电压。

    根据假设条件,车体与地面之间的纵向滑动可以忽略不计,有vix=rωi,其中,vix
    为第i个轮子总速度向量vi的纵向分量。综合考虑四个轮子的运行状态,各轮子之间的相互
    关系为

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    其中,vL为左侧轮的纵向速度,vR为右侧轮的纵向速度,vF为前侧轮的横向速度,vB
    为后侧轮的横向速度。v1x为第一个轮子的总速度向量vx的纵向分量,v2x为第二个轮子的总
    速度向量vx的纵向分量,v3x为第三个轮子的总速度向量vx的纵向分量,v4x为第四个轮子的
    总速度向量vx的纵向分量,v1y为第一个轮子的总速度向量vy的横向分量,v2y为第二个轮子
    的总速度向量vy的横向分量,v3y为第三个轮子的总速度向量vy的横向分量,v4y为第四个轮
    子的总速度向量vy的横向分量。

    所以该四驱轮式移动机器人左侧两个轮子、右侧两个轮子在x轴上的分量分别相
    同,前侧两个轮子、后侧两个轮子在y轴上的分量也分别相同。该轮式移动机器人四个轮子
    的横向速度通常是零,当机器人转向时,其机械结构决定它的外侧滑移是必须的。引入了
    Pfaffian形式的非完整约束,便可以的出系统的运动学模型这样通过改变η的大
    小便可实现对四驱轮式移动机器人位姿的控制。

    动力学模型107描述的是其速度与相应的电机输出驱动力矩之间的关系,通过一
    般轮式移动机器人动力学模型

    <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&lambda;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

    结合系统运动学模型并对其求导,在忽略重力与其他因素干扰的情况
    下便可得出四驱轮式移动机器人的动力学模型

    <mrow> <mover> <mi>&eta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>V</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>F</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

    驱动电机模型106描述了输出到驱动轮上的力矩与电机电信号之间的关系。系统控
    制器是建立在包含驱动电机的数学模型基础之上的,为了简化理论分析,假设四轮的驱动电
    机均采用相同参数的直流电机和电机驱动器,并且具有相同的减速比n。为了使车体左右两侧
    的驱动轮具有相同的转动速度,必须使得输入到左右侧的两个驱动轮上的力矩相同,因此可
    以得出驱动电机的输出转矩与电流的关系τ=[τL τR]T=[2kniL 2kniR]T,结合直流电机的电
    压平衡方程,便可得出机器人的驱动电机模型

    图2为本发明轨迹跟踪控制策略实施例的流程图,按照反步法的鲁棒轨迹跟踪控
    制策略,包括以下步骤:

    步骤一:201获取给定的参考轨迹通过对系统模型的建立获取在相应
    坐标系下机器人位姿误差eq202;

    步骤二:判定该位姿误差是否为零203,若为零,则完成了相应的轨迹跟踪207;反
    之,则需要在该渐进律的控制下,调整运动学模型的输入期望速度204;

    步骤三:在满足运动学模型中期望的速度条件,设置合适的力矩控制律[τLr τRr]
    T205;

    步骤四:为使系统能够稳定的实现对设定轨迹的跟踪,需要同时满足系统获取期
    望的速度及力矩。因此为了同时满足这两个条件,需要对驱动电机的电压进行设定,获取适
    当的电压控制律。

    步骤五:按照反步法的设计思想,形成一个反馈系统使得在t→∞时,eq=0,以实
    现实际的移动机器人对参考轨迹的跟踪。

    根据上述控制器的参数设计,从初始状态(0,0),跟踪一段轨迹为Y=sin(0.2πX)
    正弦波,位姿角θ(0)=Orad,线速度的参考值1m/s,四驱轮式移动机器人与控制器的仿真参
    数设置如表1所示。

    为了显示出该控制策略的有效性,将基于反步法的鲁棒轨迹跟踪控制策略与PID
    控制进行了比较,PID控制器参数kp=3.2,ki=0.6,kd=0.36,其中kp为比例系数,ki为积分
    系数,ki为微分系数,比较结果如图3至图8。

    表1四驱轮式移动机器人与控制器的仿真参数设置



    通过常规PID控制与基于反步法的鲁棒控制仿真对比,从图3与图4可以看出,对同
    一轨迹进行跟踪,基于反步法的鲁棒控制跟踪的最大误差相比于常规PID控制小很多;对比
    图5与图6、图7与图8可知,基于反步法的鲁棒控制比PID控制位姿角跟踪最大误差减少
    0.18rad,线速度跟踪最大误差减少0.2m/s,而且收敛时间减少60%。由上面的分析可知,对
    于同一跟踪轨迹,基于反步法的鲁棒控制比传统PID控制效果更好。

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